Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Se la scrittura può essere considerata una “tecnologia”, il linguaggio (secondo i linguisti della scuola Chomsky) è un bisogno biologico più che un fattore culturale. Esisterebbe, in questo senso, anche una sorta di linguaggio universale, una grammatica delle grammatiche, che racchiude tutti i linguaggi, anche se le sue tracce nel nostro cervello sono andate perdute (per i curiosi dell’argomento consiglio la lettura di questo illuminante articolo del linguista e accademico dei Lincei, Andrea Moro, sulle grammatiche ricorsive e l’effeto QWERTY). 
Più in generale, la ricerca di una matrice comune tra le parole e la loro combinazione è emersa in contesti del tutto diversi e ha prodotto risultati talvolta curiosi che potrebbero apparire anche simili alla ricerca del Sacro Graal piuottosto che agli esperimenti degli alchimisti per ottenere la pietra filosofale: non si può, per esempio, non citare il lavoro dell’antropologo sovietico della lingua, Vladimir Propp, che nel 1928 pubblicò un libro capace di influenzare il pensiero di Claude Lévi-Strauss: «Morfologia della fiaba». In sostanza Propp, utilizzando gli strumenti dello strutturalismo, cerco e trovò (secondo le proprie convinzioni, messe in discussione da altri intellettuali) una sorta di schema primordiale a cui avrebbero riportato tutte le fiabe del folklore russo. È lo schema Propp (chissà se qualcuno ha pensato di usare oggi gli strumenti dell’AI per ripercorrere il lavoro di Propp. I candidati mi scrivano). Comunque in maniera molto più superficiale e intuitiva potremmo dire che qualcosa di simile accade anche per i grandi romanzi che sembrano tutti un po’ la copia del grande dilemma umano dell’Odissea e del viaggio di Ulisse. Siamo viaggiatori corrosi dal bisogno di esplorare ma, ancora di più, da quello di ritornare a casa (Dove fuggire? Dove, essendo fuggiti, restare? si domandava Sofocle). Omero, se mai è esistito, aveva colto l’ossimoro intrinseco dell’esistenza.
Se una strada sembra comunque tracciata per il linguaggi, più complesso sembra rispondere a questa domanda speculare: contare è allora un bisogno biologico oppure un bisogno culturale da cui poi abbiamo svilupatto una tecnologia?
Cosa possiamo dire della matematica?
Come sempre l’origine del quesito oggi deriva dal confronto con l’AI: secondo alcuni matematici, difatti, ChatGPT starebbe imparando a contare, molto bene (qui un articolo di Nature: «It is incredible»: How AI is transforming mathematics).
Sull’origine dei numeri avevo già scritto ricordando che all’Istituto reale di Scienze Naturali di Bruxelles c’è un reperto eccezionale che purtroppo raccoglie solo qualche sguardo distratto dei visitatori più tenaci, quando va bene: è l’osso di Ishango che risale, secondo le tecniche del Carbonio 14, a circa 20 mila anni fa.
Siamo nell’ultima lunga coda del Paleolitico.
L’osso racchiude molte domande alle quali non si riesce a dare una risposta: dubbi per cui bisognerebbe riscrivere la preistoria della matematica. Non è il primo in assoluto: l’osso di Lebombo con le sue 29 tacche risale a 35 mila anni fa. Ma il reperto di Ishango offre spunti diversi: su uno dei lati dell’osso, difatti, si può facilmente vedere una serie di tacche che rappresentano i numeri 11, 13, 17 e 19. Quattro soli numeri, ma troppo importanti per essere derubricati superficialmente a prodotto del caso. Si tratta della serie completa dei numeri primi tra il dieci e il venti.
Per chi volesse rileggere Il giallo matematico dei numeri primi. Scoperti in Africa 20 mila anni fa? ecco il link.
I numeri primi tornano in gioco anche nel caso odierno perché gli interrogativi sulla capacità di ChatGPT (un sistema, dunque, non addestrato in maniera specifica per la matematica) di risolvere rebus matematici riguarda il problema di Erdős #1196.
Prima di affrontarlo è necessario spendere qualche parola sulla figura di Paul Erdős, un matematico ungherese del Novecento talmente noto da spingere i suoi colleghi matematici a creare un “numero di Erdős”, una specie di gioco simile ai Sei gradi di separazione, la teoria sociologica di Stanley Milgram secondo la quale tutti sulla Terra saremmo separati da sole sei relazioni (la teoria fu poi messa in discussione e venne criticata anche la metodologia non sempre corretta usata da Milgram per far “tornare i conti"). Comunque in questo caso l’ironia si giocava su quali fossero i gradi di separazione tra i matematici ed Erdős. Funzionava e funziona così: se un matematico ha pubblicato con Erdős poteva vantare un numero di Erdős pari a 1. Se un matematico aveva pubblicato con un matematico che a sua volta aveva un numero pari a 1, allora il risultato era un numero di Erdős pari a due. e così via. Avendo il matematico ungherese passato la vita a pubblicare con colleghi in tutti gli algoli del mondo il risultato costruiva una sua geografia, anche al di fuori della matematica.
Per esempio Chomsky ha un numero di Erdős pari a 4. Andrea Moro che ha pubblicato con Chomsky può dunque vantare un numero di Erdős pari a 5. Sarebbe curioso sapere se un matematico che ha pubblicato con Erdős ha usato per i suoi paper recenti l’AI. Questo porterebbe anche l’intelligenza artificiale ad entrare nella galassia Erdős con un suo numero e sarebbe un caso di fusione tra pensiero umano e logica matematica espressa dalle macchine.
La considerazione non è peregrina perché secondo alcuni matematici citati da Nature l’AI avrebbe mostrato – nel tentativo di affrontare il rebus di Erdős #1196 – una strategia simile a quella sviluppata negli scacchi. È, a sua modo, una forma di ragionamento creativo matematico?
Il problema #1196 della lista di Paul Erdős è uno dei tanti enigmi lasciati in eredità dal matematico, famoso per aver disseminato centinaia di congetture semplici da formulare ma profondissime. Il quesito riguarda la teoria dei numeri e, in particolare, il comportamento delle differenze tra numeri primi consecutivi.
In forma intuitiva, il problema chiede quanto possano essere “irregolari” le distanze tra numeri primi. I primi sembrano comparire in modo caotico: a volte vicinissimi (come 11 e 13), altre molto distanti. Erdős studiava proprio questo equilibrio tra ordine e casualità.
Il problema #1196 è collegato alla domanda se esistano infiniti intervalli relativamente piccoli che contengono molti numeri primi, oppure – visto dall’altro lato – quanto grandi possano diventare i “vuoti” tra primi consecutivi rispetto alla media prevista. La formulazione tecnica coinvolge strumenti di teoria analitica dei numeri, funzioni additive e stime asintotiche, ma il cuore della questione è semplice: i numeri primi seguono davvero uno schema nascosto oppure il loro comportamento è quasi casuale?
L’importanza del problema nasce da almeno tre motivi.
Primo: i numeri primi sono i “mattoncini Lego” dell’aritmetica. Comprendere come sono distribuiti significa capire la struttura stessa dei numeri interi.
Secondo: problemi di questo tipo sono strettamente legati a grandi congetture aperte, come l’Ipotesi di Riemann e la congettura dei primi gemelli. Molti progressi moderni sulla distribuzione dei primi nascono proprio da idee vicine alle domande poste da Erdős.
Terzo: il problema è un esempio perfetto dello stile matematico di Erdős. La domanda sembra elementare, quasi innocente, ma dietro nasconde tecniche sofisticatissime: metodi probabilistici, analisi armonica, crivelli e teoria additiva.
Per questo il #1196 è diventato celebre: non tanto per la sua formulazione, quanto perché rappresenta il confine tra ciò che sappiamo e ciò che ancora ignoriamo sulla natura dei numeri primi. In matematica, capire i primi significa capire fino a che punto l’ordine possa emergere dal caos.
Per rispondere però alla domanda che ci siamo posti sopra (la strada percorsa dall’AI, nel tentativo di affrontare il rebus di Erdős #1196 con una strategia simile a quella sviluppata negli scacchi, è, a sua modo, una forma di ragionamento creativo matematico?) dovremmo essere in grado di rispondere a una domanda di cui non conosciamo la risposta.
Cos’è l’intelligenza matematica? Quali sono le facoltà espresse dai matematici e come le possiamo alimentare?
Qui un indizio per gli amanti della storia della matematica riporta sempre a Erdős e cioè a quello che è stato definito il “caso ungherese”. In pochi decenni, da una popolazione relativamente piccola, uscirono figure come John von Neumann (il vero padre dell’architettura dei computer), Paul Erdős stesso, Eugene Wigner, Leo Szilard (famoso per avere firmato con Albert Einstein la lettera a Roosvelt sul pericolo che i nazisti stessero lavorando allo sviluppo di un ordigno nucleare), Theodore von Kármán e George Pólya. Non fu evidentemente una coincidenza genetica ma fu presumibilmente un fenomeno storico, culturale e istituzionale. O forse solo un’illusione ottica creata dalla loro visibilità.
Gli elementi che possiamo enucleare sono:
1) Il sistema scolastico austro-ungarico era eccezionale.
A Budapest esistevano licei di altissimo livello, soprattutto i gymnasium, con una forte enfasi su matematica rigorosa, logica, lingue classiche e problem solving.
Molti di questi futuri scienziati frequentarono scuole come il Lutheran Gymnasium di Budapest. Gli insegnanti erano spesso matematici di grande talento e trattavano studenti adolescenti quasi come universitari.
Un nome chiave è László Rátz, docente di von Neumann e Wigner, celebre per aver identificato e coltivato talenti eccezionali molto presto. L’esistenza di questa scuola di pensiero a Budapest è sottolineata nella biografia di von Neumann, «L’uomo venuto dal futuro» di Ananyo Bhattacharya. Nel libro «Maniac» di Labatut viene riportato anche un ricordo di Eugene Wigner in cui, dopo aver testimoniato che «al mondo esistevano due tipi di persone: von Neumanne il resto di noi», si aggiunge: «Era nella classe un anno indietro alla mia al Fasori Gimnàzium, un liceo luterano di Budapest che all’epoca era forse la scuola superiore più impegnativa al mondo».
2) Cultura delle gare matematiche.
L’Ungheria inventò la moderna cultura delle olimpiadi matematiche. Nel 1894 nacque il concorso Eötvös, uno dei primi grandi concorsi nazionali di matematica per liceali. Inoltre riviste come KöMaL pubblicavano problemi difficili a cui gli studenti rispondevano per posta.
3) Budapest era una metropoli intellettuale molto avanzata
Spesso si immagina l’Ungheria come periferica, ma la Budapest del 1900 era una città modernissima dell’Impero austro-ungarico: per un breve periodo, Budapest fu una delle capitali scientifiche più dinamiche d’Europa.
4) «Effetto Sinner»: i geni producono altri geni.
Questi giovani non crescevano isolati: il talento si amplificava socialmente. Quando una comunità sviluppa standard molto alti, gli studenti eccezionali si trascinano a vicenda verso livelli ancora più alti. Come nel tennis, appunto.
Non è molto diverso da ciò che si vede in altri “cluster” storici: la Atene classica per la filosofia, la Firenze rinascimentale per l’arte, la Silicon Valley per l’informatica.
Quando istituzioni, cultura e reti sociali si allineano, il talento tende a concentrarsi e moltiplicarsi.
Ma oltre questa analisi è difficile andare. Se sapessimo sul serio come si coltivano i geni lo faremmo.
Dunque forse la domanda che ci si pone oggi sulle qualità matematiche dell’AI non ha molto senso. Se aiuterà ad ottenere la risoluzione dei rebus questo sì che avrà senso. Ma senza la necessità di fare congetture. D’altra parte sono millenni che ci facciamo aiutare dalla tecnologia, a partire da un osso di 20 mila anni fa.

MASSIMO SIDERI