Il Sole 24 Ore, 14 marzo 2021
QQAN61 Cos’è e come funziona un modello matematico
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Da molti mesi, da quando siamo stati investiti dalla pandemia del Covid, numeri e curve sono diventati una presenza fissa nelle pagine dei quotidiani, delle conferenze stampa e dei dibattiti televisivi, accompagnati da un profluvio di commenti su picchi e pendenze, dati, percentuali, algoritmi e coefficienti come il famoso Rt, che hanno reso familiare il linguaggio della matematica. Ma la familiarità col linguaggio non sempre si traduce in una comprensione adeguata del corrispondente contenuto matematico.
Giunge dunque quanto mai a proposito questo libro di Alfio Quarteroni, un’autorità internazionale nel campo della modellistica matematica, che spiega cosa si intenda quando si parla di «modelli matematici per simulare la realtà», modelli come quelli adottati per studiare l’andamento della pandemia, e non solo. Uno dei segreti della matematica, dice infatti Quarteroni, è di essere una scienza astratta.
L’astrazione permette di cogliere due aspetti della realtà a prima vista opposti se non contraddittori: da un lato, affrontare i problemi nella loro generalità e, dall’altro, coglierne «le caratteristiche essenziali, intime» per dirla con le sue parole. Inoltre, l’astrazione «favorisce l’immaginazione, e l’immaginazione nutre la creatività» di cui ha bisogno il matematico per costruire i suoi modelli basati su numeri ed equazioni. I primi consentono di quantificare le grandezze in gioco, le seconde di descrivere le relazioni che intercorrono tra esse, e così caratterizzare i fenomeni che si vogliono studiare. Che si tratti di traiettorie di satelliti o di bolidi di Formula 1, dell’andamento del mercato azionario, delle correnti marine o atmosferiche, della forma dello scafo di una barca o delle tattiche di gioco di una squadra di calcio o di pallavolo, opportune equazioni traducono tutti quei fenomeni in termini matematici. E la risoluzione di quelle equazioni consente di fare previsioni.
Insomma, «le equazioni dei modelli sono obiettivi puntati sul futuro» afferma Quarteroni con un’efficace immagine, prima di darne una convincente esemplificazione nelle pagine di questo libro. Un modello matematico è una specie di «scatola magica», in cui da un lato si inseriscono i dati di realtà e dall’altro esce un mondo virtuale popolato di numeri e equazioni. Naturalmente possono esistere diversi modelli, più o meno accurati, di uno stesso processo fisico e, viceversa, uno stesso modello matematico può dar conto di diversi processi fisici. Certo, cambia la natura dei dati e il significato delle soluzioni delle equazioni ma l’elemento comune, sottolinea Quarteroni, è la struttura matematica del modello. Per cominciare, modelli per le previsioni del tempo. Poter prevedere in maniera accurata il tempo che farà domani e nei prossimi giorni è di enorme importanza non solo per la nostra vita quotidiana, ma per l’intera organizzazione sociale. Da quando cominciò a parlarne il meteorologo Lorenz negli anni Sessanta del secolo scorso, è diventata familiare l’espressione «effetto farfalla» – il battito d’ali di una farfalla in Brasile può provocare un tornado in Giappone – per descrivere fenomeni non lineari e caotici come quelli che governano l’atmosfera, il cui comportamento dipende dai dati iniziali.
Si comprende quindi l’interesse per lo sviluppo di tecniche che permettono di integrare nel modello milioni di dati di osservazione, i dati iniziali del problema, e la creazione di modelli sempre più sofisticati che ormai consentono di effettuare previsioni attendibili per diversi giorni. Di stringente, drammatica attualità è il capitolo dedicato alla «matematica del contagio», che prende le mosse dalle classiche equazioni introdotte negli anni Venti del Novecento dai matematici Vito Volterra e Alfred Lotka per studiare la dinamica preda-predatore fra specie di pesci.
Dal punto di vista matematico, infatti, la dinamica di diffusione nella popolazione di un virus o di un altro patogeno ha un andamento simile a quello delle interazioni tra prede e predatori. In pagine di grande chiarezza Quarteroni spiega poi come si arriva a scrivere le equazioni del contagio, quale sia il significato delle variabili e dei parametri che vi entrano, e come si debbano interpretare le curve ad esse associate. Di pari, drammatica rilevanza per le sue implicazioni sulla nostra salute, anche se non figura quotidianamente nelle pagine dei giornali, è l’affascinante progetto cui Quarteroni e i suoi collaboratori lavorano da qualche anno: la realizzazione di un “cuore matematico”, una «sfida gigantesca» che richiede le competenze di matematici e medici, biologi e informatici per cercare di costruire un modello matematico in grado di descrivere mediante equazioni il complesso comportamento del cuore. Per fortuna, non solo di malattie si tratta.
I modelli matematici svolgono un ruolo decisivo anche in aspetti della vita più ameni e ludici, come testimonia l’esperienza dello stesso Quarteroni e del suo gruppo con la progettazione della barca Alinghi, vincitrice per due volte consecutive della Coppa America, o le applicazioni di metodi matematici e l’utilizzazione di supercomputer per risolvere problemi nei campi più diversi, dalle macchine impastatrici all’analisi in diretta di una partita di calcio o pallavolo per permettere all’allenatore di prendere le decisioni più opportune.