Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

• «Questo grandissimo libro, io dico l’universo, non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica». Per Galileo Galilei così andava il mondo. E da allora nulla è cambiato. Oggi perfino le oziose cicale, con il loro canto assordante, ci invitano a entrare nel mondo dei numeri. Un gruppo di ricercatori ha annunciato nel luglio del 2001 di avere elaborato un modello matematico, che mostra come la durata del ciclo vitale di alcune specie di cicale si sia evoluta nel tempo fino a raggiungere una periodicità, in anni, scandita da numeri speciali: i numeri primi.
• Le cicale escono periodicamente dalle loro tane sotterranee per accoppiarsi. Alcune specie di questi insetti hanno un periodo vitale eccezionalmente lungo. Si accoppiano infatti solo una volta ogni 13 o 17 anni. Questi numeri nascondono un significato profondo. Sono entrambi numeri primi, cioè interi che non sono divisibili per alcun numero, tranne che per uno e per se stessi. Nel linguaggio matematico vengono più precisamente indicati come numeri naturali: in poche parole sono quelli che servono per contare.
• Se la matematica non è un’opinione sembra che anche la natura abbia imparato a contare e a sfruttare le proprietà di questi numeri. Un ciclo vitale scandito da numeri primi si è rivelato infatti una strategia ideale per sfuggire ai predatori e allontanare così lo spettro dell’estinzione. Le cicale con cicli vitali in numeri primi escono allo scoperto in periodi che coincidono molto di rado con il ciclo vitale dei loro predatori. Una cicala che si accoppia ogni 12 anni (che non è un numero primo, ma composto, in quanto divisibile per 2, 3, 4 e 6) verrà mangiata da tutti i predatori con cicli vitali di 2, 3, 4, e 6 anni. La Magicicada septendecim invece, con il suo ciclo vitale di 17 anni, incontrerà un predatore con un ciclo di 5 anni solo una volta ogni 85 anni, cioè 17 moltiplicato 5.
• Il modello matematico elaborato da Mario Markus, ricercatore al dipartimento di fisiologia molecolare del Max Planck Institut di Dortmund, indica che le cicale avrebbero sviluppato tali cicli. Sembra quindi che anche l’evoluzione naturale abbia dovuto fare i conti con i primi e che le cicale, per sopravvivere, abbiano imparato qualcosa delle loro peculiarità.
• da euclide alla bomba. I numeri primi hanno da sempre affascinato e impegnato le migliori menti matematiche. Ma perché? Cosa hanno di tanto speciale da renderli uno degli argomenti cardine della teoria dei numeri? La risposta a queste domande è nota ai matematici da oltre duemila anni. Nel 300 a.C. venne completato il più famoso manuale di matematica che sia mai stato scritto: Gli Elementi. L’autore è Euclide, lo studioso chiamato ad Alessandria d’Egitto da Tolomeo I, per insegnare nell’accademia fondata dal sovrano, il Museo. Nel IX libro degli Elementi appare la dimostrazione del Teorema fondamentale dell’aritmetica, che racchiude una delle proprietà basilari dei numeri primi. Il teorema assicura che ogni intero maggiore di uno o è primo o può essere ottenuto, in modo unico, come prodotto di numeri primi. Per esempio 140 si ottiene moltiplicando fra loro 2, 2, 5, e 7. Semplicemente moltiplicando fra loro numeri primi, si possono ottenere tutti gli interi.
• I primi sono quindi i mattoni con cui sono costruiti tutti gli interi, così come gli elementi chimici della tavola periodica si mescolano tra loro per formare ogni tipo di molecola. Con una differenza sostanziale. La tavola periodica contiene un numero ben preciso di elementi, ma questo non vale per i numeri primi. Si deve sempre a Euclide il merito di avere mostrato che i numeri primi non si esauriscono mai, sono infiniti. La dimostrazione, contenuta anch’essa nel IX libro degli Elementi, è ancora oggi considerata un modello di eleganza del ragionamento matematico.
• Il contributo di Euclide alla teoria dei numeri è stato senza dubbio fondamentale e ha aperto la strada a una serie di problemi e interrogativi tanto spontanei quanto difficili da risolvere. Primo fra tutti quello dell’esistenza di una formula matematica in grado di generare tutti e soli i numeri primi. Con una simile formula basterebbe inserire in un computer, appositamente programmato, tutti i numeri da uno a infinito per ottenere tutti i numeri primi. Ma nessuno è ancora riuscito a scoprire un’espressione tanto potente e la sua ricerca rappresenta tutt’ora uno dei quesiti matematici irrisolti più affascinanti. Innumerevoli matematici hanno dedicato parte dei propri sforzi a questo studio. Leonhard Euler, il genio matematico vissuto nel XVIII secolo, si dilettò con una formula di una semplicità seducente, che si rivelò in seguito errata. Sostituendo alla lettera n, che compare nell’espressione n2 + n + 41, tutti gli interi fino a 39, si ottengono solo numeri primi. Ma improvvisamente, per n uguale a 40, la formula fa cilecca e il calcolo produce un numero composto.
• Nel 1963 Stanislaw Ulam, il brillante matematico che partecipò a Los Alamos alle ricerche sulla bomba atomica, durante una noiosa conferenza si mise a scarabocchiare file di numeri interi su un foglio. Disponendo a mo’ di spirale quadrata i numeri consecutivi a cominciare da 1, si accorse con grande sorpresa che i numeri primi avevano la strana tendenza a preferire le linee diagonali. In particolare, nella spirale ottenuta cominciando dal numero 41 e fino a 440, la diagonale principale è costituita da tutti e soli i numeri primi generati dalla formula di Euler. Preso dall’entusiasmo Ulam pensò di essere vicino alla soluzione dell’enigma. Ma dovette presto ricredersi e abbandonò le sue spirali al loro destino.
• la caccia continua. L’unico metodo per trovare i preziosi primi e separarli dai comuni composti fu ideato nel III secolo a.C. da Eratostene, uno degli scienziati più famosi dell’antichità, ed è noto come crivello di Eratostene. L’idea è semplice: si elenchino i numeri interi positivi partendo da 2. Poi si cancellino tutti i multipli del più piccolo numero primo, 2. Resta il primo successivo, 3. Si cancellino tutti i multipli di 3. Resta il primo successivo, 5. Ogni successiva crivellatura rivela un numero primo. Prima dell’avvento dei calcolatori tutte le tavole di numeri primi furono calcolate, con grande dispendio di carta e inchiostro, utilizzando questo sistema. Nel XIX secolo lo studioso polacco Yakov Kulik passò venti anni della sua vita a preparare a mano una tavola di numeri primi fino a 100 milioni. Il suo lavoro non fu però mai pubblicato.
• Per ora il numero primo più grande conosciuto è un mostro con una coda di ben 4.053.946 cifre. Scritto per intero riempirebbe un libro di oltre mille pagine, ma usando una notazione esponenziale, più maneggevole e familiare ai matematici, il numero da primato si scrive 213.466.917 - 1. Il numero in questione si ottiene cioè moltiplicando 2 per se stesso 13.466.917 volte e sottraendogli 1. La sua data di nascita è il 14 novembre 2001. Il suo scopritore, Michael Cameron, non è un professore, ma un ragazzo appena ventenne di Owen Sound, Ontario, uno dei migliaia di partecipanti al progetto Gimps (Great Internet Mersenne Prime Search).
• Gimps è nato a Orlando, in Florida, nel 1996, grazie al programmatore George Woltman, che ha avuto l’intuizione di utilizzare Internet per la ricerca dei numeri primi. L’unione fa la forza: migliaia di computer che lavorano insieme scambiandosi i dati via Internet avrebbero quasi sicuramente battuto sul tempo i più potenti calcolatori. Come si augurava Woltman, i numeri primi hanno attirato nella rete appassionati, studiosi e dilettanti, che hanno messo volontariamente insieme i loro pc per questa grande caccia. Il successo del progetto è innegabile. Nella corsa al primo più grande, Gimps ha battuto i supercalcolatori per ben quattro volte in altrettanti anni.
• non finiranno mai. I numeri primi esercitano una seduzione senza tempo perché sotto l’apparente semplicità nascondono proprietà elusive e misteriose. Ne è un esempio la loro distribuzione lungo la serie dei numeri interi. A prima vista sembra che i numeri primi siano molto frequenti. Dei primi dieci numeri interi dopo 1 (cioè da 2 a 11) ben cinque sono primi (2, 3, 5, 7, 11) e cioè esattamente la metà. Ma, prendendo in esame le successive sequenze di numeri, risulta che la frequenza dei primi tende a diminuire sempre di più. Sembra cioè che i primi diminuiscano, senza seguire una particolare regolarità, man mano che si avanza lungo la serie degli interi.
• Questi argomenti porterebbero automaticamente a pensare che i primi, a un certo punto, si esauriscano. Ma Euclide, con il suo teorema sull’infinità, assicura di no. Matematici del calibro di Adrien-Marie Legendre, Johann Karl Friedrich Gauss e Georg Friedrich Riemann hanno tentato di trovare una formula che descrivesse esattamente l’andamento della distribuzione dei primi, senza successo. La congettura sulla loro frequenza, che è oggi nota come ipotesi di Riemann, è tutt’ora uno dei problemi irrisolti più stuzzicanti della matematica moderna.
• utilissimi per internet. Con l’avvento dei calcolatori e lo sviluppo di Internet la teoria dei numeri è uscita dai circoli strettamente accademici, per diventare una disciplina legata a questioni di vitale importanza economica e strategica. Nell’era digitale la parola d’ordine è sicurezza: l’unico modo per ottenerla è possedere un metodo per cifrare i messaggi tanto sicuro da considerarsi inviolabile. La sfida lanciata alla crittografia è ideare un codice tale che anche il più potente dei calcolatori impieghi molti anni a decodificarlo. Il sistema più in uso oggi si chiama Rsa, dalle iniziali di Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, i ricercatori del Massachusetts Institute of Technology, che lo hanno sviluppato nel 1978.
• L’idea che sta alla base del sistema è tanto semplice quanto efficace. relativamente facile, con l’ausilio dei calcolatori, trovare numeri primi molto grandi, come anche moltiplicarne due tra loro e ottenere un numero composto di un centinaio di cifre. Ma non è altrettanto semplice effettuare l’operazione inversa: dato un numero di cento e passa cifre, risalire ai due numeri primi che, moltiplicati tra loro, danno come risultato esattamente il numero di partenza. In pratica l’Rsa è un programma che genera due chiavi: una chiave cosiddetta pubblica, che serve per cifrare il messaggio e che è nota a chiunque voglia spedire un messaggio segreto a un certo utente, e una cosiddetta privata, che serve per decifrare i messaggi, di cui è a conoscenza solo la persona a cui è stato indirizzato il messaggio.
• Una vita da cicala. Tredici anni per la Magicicada tredecim, diciassette per la M. septendecim: tanto dura il soggiorno sotterraneo di queste cicale americane. Le uova si sviluppano in 6-10 settimane, poi si schiudono e le ninfe, gli insetti non ancora adulti, si scavano una tana nel terreno. Nella sicura oscurità della terra si attaccano a una radice, da cui succhieranno il nutrimento per tutto il loro periodo di sviluppo, anno dopo anno. Poi, in una notte di primavera, le ninfe emergono in superficie, si trasformano in insetti adulti, con tanto di ali, e si concedono le gioie dell’amore. I maschi si riuniscono insieme e formano un bel coro, cantando il loro richiamo sessuale, le femmine ascoltano e rispondono con accorti movimenti d’ala. E se qualche cicala viene mangiata da un cinghiale o un tasso, pazienza: sono così tante che la perdita neanche si nota. Dopotutto i predatori più di tanto non possono abbuffarsi. L’importante è condurre in porto il gioco dell’accoppiamento nei 20-25 giorni a disposizione, malgrado i tanti concorrenti e qualche furbacchione sempre pronto a rubare le femmine. Poi saranno anni di silenzio.
•  come inviare a un amico uno scrigno, dove dovrà infilare un messaggio, e un lucchetto aperto, che servirà poi per chiudere lo scrigno. Solo il destinatario dell’informazione possiede la chiave per aprire il lucchetto e solo lui sarà quindi in grado di aprire lo scrigno e leggere la comunicazione. La chiave pubblica è il numero intero di almeno cento cifre e la chiave privata è la coppia di numeri primi che, moltiplicati tra loro, danno il numero corrispondente alla chiave pubblica. Per ora, una chiave pubblica di oltre cento cifre assicura un elevato grado di inviolabilità.