PAOLO ZELLINI , la Repubblica 27/11/2011, 27 novembre 2011
LA RIVINCITA DELLO ZERO
Si ha un bel riunire trenta raggi in un mozzo, l´utilità della vettura dipende da ciò che non c´è. Si ha un bel lavorare l´argilla per fare vasellame, l´utilità del vasellame dipende da ciò che non c´è. Si ha un bell´aprire porte e finestre per fare una casa, l´utilità della casa dipende da ciò che non c´è». Così si legge nel Tao Tê Ching, il libro fondatore della scuola filosofica taoista, scritto, secondo la tradizione cinese, dal leggendario Lao-tzu nel VI secolo a.C. Il senso è chiaro: la vettura rituale, metafora dell´immenso universo, si muove soprattutto grazie al mozzo vuoto delle sue ruote, dal quale tutto dipende. Il vasellame e la casa, poi, sono evidenze invincibili: ciò che non è finisce per essere più importante di ciò che è.
Ma questa non è solo antica e raffinata saggezza; è anche, entro i limiti di ipotesi o di interpretazioni sempre confutabili, chiarezza scientifica, certezza matematica. Lo spiega ora un recente numero della rivista New Scientist (19 Novembre 2011), con una serie di interessanti contributi di scienziati di diverse discipline per i quali non ci sarebbero dubbi: proprio da ciò che ci appare vuoto o privo di esistenza dipendono la realtà fisica e il nostro pensiero. La riconquista del vuoto sarebbe anche un risalire alla sorgente delle nostre azioni e del nostro volere, forse della nostra stessa vita, un viaggio a ritroso in direzione opposta al moltiplicarsi continuo e indefinito di ingegnosi apparati a cui la scienza e le sue innumerevoli applicazioni ai bisogni sociali ci costringono senza tregua. Già Luitzen Egbertus Brouwer, il grande matematico del secolo scorso, aveva denunciato la parzialità, la frammentazione, e perfino la schiavitù che derivano dalla indiscriminata proliferazione di fini e di mezzi procurati dalla scienza e dalla tecnologia.
La fisica e la chimica ci offrono diversi esempi della priorità del vuoto sul pieno. Con la teoria della relatività ristretta del 1905 Einstein aveva dimostrato che l´ipotesi dell´esistenza dell´etere nello spazio è una complicazione superflua; eppure recenti sperimentazioni danno credito all´idea di uno spazio che non è vuoto, ma ricco di energia e di fermenti di attività, tanto da ricordare l´etere invisibile e luminescente della scienza – e delle correnti spiritualiste – del XIX secolo. Analoghe indicazioni vengono dall´analisi di gas nobili come l´elio, gas talmente rari da essere considerati inattivi o perfino inesistenti, come pure dagli sviluppi dell´elettronica dopo l´invenzione del primo transistor nel 1947.
Al vuoto, in matematica, fanno pensare lo zero e l´insieme privo di elementi, chiamato appunto "insieme vuoto". Si denotano entrambi con esili e pur efficaci segni sulla carta, che ubbidiscono a regole più o meno convenzionali dell´algebra e dell´insiemistica. Lo zero interviene innanzitutto nella notazione posizionale dei numeri rappresentati con una sequenza di cifre, dove la posizione di ogni cifra indica la potenza di dieci per la quale essa va moltiplicata. Questa notazione è una conquista dei Babilonesi e risale almeno al 1800 a.C. I Babilonesi usavano la base sessanta invece di dieci (la nostra divisione dell´ora in 60 minuti e del minuto in 60 secondi ne è un´evidente vestigia) e lasciavano lo spazio vuoto in corrispondenza di una cifra mancante. Solo molto più tardi, nell´età dei Seleucidi verso il 300 a.C., lo spazio vuoto fu sostituito da un simbolo per lo zero. La notazione posizionale dei numeri in base due, invece di dieci, è oggi il presupposto della cosiddetta aritmetica in virgola mobile di un qualsiasi calcolatore digitale.
I Greci, al contrario, non usarono nessun simbolo per lo zero né concepirono mai lo zero come un numero. Essi possedevano una raffinata scienza del logos, ovvero del rapporto matematico, da cui proviene il nostro concetto di numero. Ma allora si può immaginare che dividere un numero per lo zero o lo zero per un numero apparissero operazioni prive di senso. Per usare le parole di Simone Weil «nella natura ci sono rapporti; non c´è lo zero». Inoltre nella tradizione pitagorica i numeri erano concepiti geometricamente come un flusso di forme, quasi il germogliare di una pianta da una radice, con una fitta rete di rapporti non diversa da quell´intreccio in cui, secondo i poemi di Orfeo, si andava costituendo per gradi un qualsiasi animale. Questo flusso si originava non dallo zero, ma dall´uno considerato come una sorta di logos seminale, in cui era prefigurata l´intera progressione numerica.
Per contrasto, osservava Louis Massignon, il pensiero arabo, servendosi delle cifre indiane e dello zero, proiettava i numeri non più nel continuo spaziale dei Greci, bensì nella durata, dove essi apparivano come una «discontinua semina stellare di istanti singolari e ineguali per efficacia». Dopo le conquiste dell´algebra moderna fu Peano, nel 1898, a far cominciare la serie dei numeri naturali dallo zero.
Nella matematica moderna il concetto greco di logos come rapporto tra interi finiti fu esteso al caso delle divisioni per un numero infinitamente piccolo. Leibniz dimostrò che un rapporto o una frazione può conservare un preciso significato anche quando il numeratore e il denominatore sono quantità evanescenti, che tendono allo zero. Ma se l´analisi riesce a dare un senso a questi rapporti mediante il concetto di limite, gli algoritmi non accettano divisioni per lo zero e possono produrre risultati privi di senso se i divisori sono troppo piccoli. Analoghi inconvenienti, nel calcolo automatico, si verificano quando da un numero viene sottratto un altro di grandezza simile, in modo che il risultato è vicino allo zero. Lo zero è quindi un numero speciale, che può produrre fenomeni di instabilità e di collasso di un intero sistema di calcolo.
Tuttavia il vuoto matematico, la vera assenza nel sistema dei numeri, non è lo zero, e nemmeno l´insieme senza elementi, ma il numero irrazionale. Questo non si può rappresentare come un rapporto tra interi, e neppure come una sequenza finita di cifre e quindi, per un verso, non si definisce e non esiste neppure. Se si pensa di disporre i numeri su una retta, pi greco e la radice quadrata di due vanno pensati come autentiche lacune, concepibili non tanto come enti attuali quanto come algoritmi, come processi che ne calcolano le cifre una per una, all´infinito.
La matematica deve gran parte del suo sviluppo allo sforzo di precisare il significato di questi numeri e alle tecniche escogitate per approssimarli. Ne era convinto lo stesso Peano, il quale ricordava che lo scopo della matematica è determinare il valore numerico delle incognite che si presentano nei problemi pratici, e che i grandi matematici «hanno sviluppato le loro mirabili teorie fino al calcolo delle cifre necessarie». Nei numeri irrazionali c´è la stessa assenza e incompletezza che Aristotele considerava inerente ad ogni cosa. Aristotele la chiamava steresis, un non-essere che ricorda il nulla da cui, secondo alcune dottrine cabbalistiche medievali, avrebbe avuto origine tutto. E infatti buona parte della matematica è una fitta costruzione intorno a un nulla, e senza quel nulla perderebbe il suo senso.