Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Da Ian Stewart, La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart, I saggi di Focus su licenza di Codice edizioni, Torino. • «Uno dei vantaggi di conoscere un po’ di matematica consiste nel poter stupire tantissimo gli amici» (Ian Stewart). • BICCHIERI VUOTI Ho cinque bicchieri in fila. I primi tre sono pieni, gli altri due vuoti. Come posso fare in modo che siano alternativamente pieni e vuoti, muovendo solo un bicchiere? Risposta: prendete il secondo bicchiere da sinistra, versatene il contenuto nel quinto bicchiere e rimettete al suo posto il secondo bicchiere. [v. immagine 1 allegata] • QUANTI/E... …modi ci sono per riordinare le lettere dell’alfabeto (inglese)? 403 291 461 126 605 635 584 000 000 …modi ci sono per mischiare un mazzo di carte? 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 ...diverse posizioni può assumere un cubo di Rubik? 43 252 003 274 489 856 000 ...diversi sudoku esistono? 6 670 903 752 021 072 936 960 (Calcolato da Bertram Felgenhauer e Frazer Jarvis nel 2005.) …diverse sequenze di 100 cifre zero e uno esistono? 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 • Nel 1957 John Singleton brevettò un calendario da scrivania che poteva visualizzare qualunque giorno da 01 a 31 utilizzando due cubi, ma lasciò scadere il brevetto nel 1965. • COME RICORDARE UN NUMERO TONDO Una poesiola francese tradizionale dice: Que j’aime à faire apprendre Un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste ingenieux, Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite! Tradotto liberamente: «Quanto tengo a far imparare/Un numero utile ai saggi!/Glorioso Archimede, artista ingegnoso/Tu, di cui Siracusa ancora loda il merito!». Ma a quale «numero utile ai saggi» si riferisce? Contando le lettere di ogni parola, trattando "j" come una parola di una lettera e ponendo una virgola dopo la prima cifra, otteniamo 3,141 592 653 589 793 238 462 6 cioè π fino alla ventiduesima cifra decimale. In molte lingue esistono simili frasi mnemoniche per ricordare π. Una delle più note in italiano si deve a Ettore Siboni e risale al 1935, quando la rivista “Sapere” bandì un concorso tra i suoi lettori: «Ave, o Roma, o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza…» In inglese una delle più conosciute è How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum mechanics. One is, yes, adequate even enough to induce some fun and pleasure for an instant, miserably brief. (Quanto desidero bere qualcosa, alcolico naturalmente, dopo i pesanti capitoli riguardanti la meccanica quantistica. Un bicchiere è, sì, a malapena sufficiente per indurre un po’ di sollievo e piacere per un istante, tristemente breve.) Probabilmente si ferma qui perché la cifra successiva è 0, e non è chiarissimo quale sia il modo migliore di rappresentare una parola senza lettere. (Poi vedremo una possibile convenzione.) Un’altra è: Sir, I bear a rhyme excelling In mystic force, and magic spelling Celestial sprites elucidate All my own striving can’t relate. (Signore, porto versi che eccellono / in forza mistica e ortografia magica. / Spiritelli celestiali, chiarite / ciò che tutti i miei sforzi non riescono a riferire.) Nel 1986 fu pubblicato un ambizioso testo mnemonico per π in "The Mathematical Intelligencer" (vol. 8, 1986, p. 56). Si tratta di una rivista informale, quasi a uso interno, per matematici professionisti. Il testo è una storiella autoreferenziale che racchiude le prime 402 cifre decimali di π. Usa i segni di punteggiatura (escluso il punto) per rappresentare la cifra zero, e le parole di più di nove lettere rappresentano due cifre consecutive: per esempio una parola di 13 lettere rappresenta le cifre 1 e 3, in quest’ordine. Ah, e qualsiasi cifra vera e propria rappresenta se stessa. La storia comincia così: For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. Inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value: pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all - success. (Per un tratto rimasi a ponderare sulle dimensioni dei cerchi. Il grande calcolatore centrale elaborava tranquillamente tutto il suo codice in linguaggio macchina. Dentro di me, le mie speranze si appuntavano sulla ricerca di uno sfuggente sviluppo decimale. Valore: pi greco. I decimali arriveranno presto. Introdussi nervosamente una procedura di inizializzazione. Il calcolatore elaborò la richiesta. Errore. La introdussi nuovamente, digitando con cura. Questa volta ottenni zero errori nella stampata: successo!) Per leggere il resto della storia, nonché molti altri testi mnemonici, si veda il sito http://paginas.fe.up.pt/~fsilva/port/pi2.html. • COME FARE UN SACCO DI MATEMATICA Leonardo Eulero è stato il matematico più prolifico di tutti i tempi. Nacque a Basilea, in Svizzera, nel 1707 e morì a San Pietroburgo, in Russia, nel 1783. Scrisse più di 800 articoli scientifici e una gran quantità di libri. Ebbe 13 figli, e spesso si occupava di matematica mentre ne aveva uno seduto sulle ginocchia. Perse la vista da un occhio nel 1735, probabilmente a causa di una cataratta; l’altro occhio smise di funzionare nel 1766. La cecità non sembrò avere alcun effetto sulla sua produttività. I suoi parenti prendevano appunti e lui aveva capacità mentali prodigiose: una volta svolse a mente un calcolo che richiedeva cinquanta cifre decimali per decidere quale tra due studenti avesse dato la risposta esatta. Eulero trascorse molti anni alla corte dell’imperatrice Caterina la Grande. È stato detto che per evitare di farsi coinvolgere nella politica di corte - i cui esiti potevano essere fatali - Eulero passava quasi tutto il tempo a fare matematica, tranne quando dormiva. In questo modo era evidente che non aveva tempo per gli intrighi. Il che mi ricorda una battuta matematica: perché un matematico dovrebbe avere un’amante oltre alla moglie? (Per simmetria di genere, se volete modificatelo in "un amante oltre al marito".) Risposta: quando la moglie pensa che siate con l’amante e l’amante pensa che siate con la moglie, avete tempo per fare progressi con la matematica. • CENTINAIO DIGITALE Inserite esattamente tre usuali simboli matematici tra le cifre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 in modo che il risultato sia 100. Se volete potete ripetere uno stesso simbolo, ma ogni ripetizione viene contata nel totale dei tre simboli. Non è consentito modificare l’ordine delle cifre. Risposta: 123 - 45 - 67 + 89 = 100 Questa soluzione fu scoperta dal grande creatore di enigmi inglese Henry Ernest Dudeney, e si può trovare nel suo libro Amusements in Mathematics. Ci sono numerose soluzioni usando quattro o più simboli matematici. • SE PENSATE CHE I MATEMATICI SIANO BRAVI A FAR DI CONTO… Ernst Kummer era un algebrista tedesco a cui si devono alcuni dei più importanti risultati sull’Ultimo Teorema di Fermat prima dei tempi recenti. Ma aveva problemi a far di conto, e quindi chiedeva sempre ai suoi studenti di fare i calcoli al suo posto. Una volta doveva calcolare 9 x 7. «Dunque... nove per sette fa... nove... per sette... fa...». «Sessantuno» suggerì uno studente. Kummer lo scrisse sulla lavagna. «No, professore! Dovrebbe essere sessantasette!» intervenne un altro. «Suvvia, signori» disse Kummer. «Non può fare entrambe le cose. O l’uno o l’altro!». • SEI GRADI DI SEPARAZIONE Nel 1998 Duncan Watts e Steven Strogatz pubblicarono sulla rivista scientifica "Nature" uno studio sulle reti "piccolo mondo". Si tratta di reti in cui alcuni individui hanno un numero insolitamente alto di collegamenti. L’articolo diede il via a numerose ricerche in cui queste idee venivano applicate a reti della vita reale, come Internet e la trasmissione di malattie infettive. La storia iniziò nel 1967 quando lo psicologo Stanley Milgram preparò 160 lettere che riportavano sulla busta il nome del suo agente di borsa, ma senza indirizzo. Poi "perse" le lettere in modo che elementi casuali della popolazione potessero trovarle e, sperava, spedirle. Molte lettere arrivarono effettivamente all’ufficio dell’agente di borsa e, in questo caso, avevano impiegato al più sei tappe intermedie. Questo fatto condusse Milgram all’idea che siamo collegati a ogni altra persona sul pianeta attraverso un massimo di cinque intermediari: sei gradi di separazione. Stavo spiegando l’articolo di "Nature" e il suo antefatto al mio amico Jack Cohen, nella sala comune dell’istituto di matematica. In quel momento passò il nostro direttore di dipartimento, si fermò e disse: «Che assurdità! Jack, quanti passi intermedi ci sono tra te e un allevatore mongolo di yak?». La risposta immediata di Jack fu «Uno!». Spiegò quindi che la persona nell’ufficio accanto al suo era un ecologo che aveva lavorato in Mongolia. Questo è il tipo di cose che accadono a Jack, perché è una di quelle persone con un numero di collegamenti insolitamente alto che tengono insieme le reti "piccolo mondo". Per esempio, fa sì che sia io sia il mio direttore di dipartimento ci troviamo a soli due passi da un allevatore di yak mongolo. • L’AUTOMOBILE RUBATA Nigel Fenderbender acquistò un’automobile di seconda mano per 900 sterline e mise un’inserzione in un giornale locale per rivenderla a 2900 sterline. Un signore anziano dall’aspetto rispettabile, vestito da religioso, si presentò a casa sua per informarsi sull’automobile e la acquistò al prezzo richiesto. Ma per sbagliò compilò un assegno per 3000 sterline, ed era l’ultimo assegno del libretto. Ora, Fenderbender non aveva contanti in casa e quindi fece una salto dalla giornalaia lì accanto, Maggie Zine, che era anche una sua amica, che gli cambiò l’assegno. Fenderbender diede al religioso le 100 sterline di resto. Ma quando Maggie cercò di riscuotere l’assegno in banca, fu respinto. Per ripagare la giornalaia, Nigel Fenderbender fu costretto a farsi prestare 3000 sterline da un altro amico, Honest Harry. Dopo che Fenderbender ebbe ripagato anche questo debito, si lamentò a gran voce: «Ho perso 2000 sterline di profitto dalla vendita dell’automobile, 100 per il resto, 3000 per ripagare la giornalaia e altre 3000 per ripagare Honest Harry. In tutto fanno 8100 sterline!» Quanto denaro aveva perso veramente? Risposta: Fenderbender pagò 900 sterline per l’automobile e ne diede altre 100 come resto al religioso. Contò tutte le sue uscite, ma dimenticò di includere le corrispondenti entrate. Tutte le altre transazioni si cancellano tra loro, e quindi perse 1000 sterline. • ERRORI CHE SI CORREGGONO DA SOLI Agli scolari fu assegnato un calcolo aritmetico che coinvolgeva tre interi numeri positivi (qui "positivo" significa "maggiore di zero"). Durante l’intervallo due compagni di classe confrontarono i rispettivi risultati. «Oops. Ho sommato i tre numeri, anziché moltiplicarli» disse George. «Sei fortunato, allora» rispose Henrietta. «Viene lo stesso risultato». Quali erano i tre numeri? Quali sarebbero stati se ce ne fossero stati solo due, oppure quattro, di nuovo con la condizione che la somma sia uguale al prodotto? Risposta: I numeri erano 1, 2 e 3. Infatti 1 + 2 + 3 = 6 = 1 x 2 x 3. Questa è l’unica soluzione con tre numeri interi positivi. Con due numeri, l’unica possibilità è 2 + 2 = 4 = 2 x 2. Con quattro numeri l’unica possibilità è 1 + 1 + 2 + 4 = 8 = 1 x 1 x 2 x 4. Con più numeri ci sono in genere numerose soluzioni, ma in alcuni casi eccezionali c’è un’unica soluzione. Se la somma di k numeri interni positivi è uguale al loro prodotto, e solo un insieme di numeri ha questa proprietà, allora k è uno dei numeri 2, 3, 4, 6, 24, 114, 174 e 444, oppure è almeno 13 587 782 064. Non si conoscono esempi maggiori di 444, ma la loro possibile esistenza rinmane aperta. • Al mondo ci sono 10 tipi di persone: quelle che capiscono i numeri binari e quelle che non li capiscono. • ERRORI DI ORTOGRAFIA «In cuesta fraze ci sono cincue erori». Vero o falso? Risposta: ci sono quattro errori di ortografia, nelle parole “questa”, “frase”, “cinque” ed “errori”. Il quinto errore è l’affermazione che vi siano cinque errori quando in realtà ce ne sono solo quattro. Ma… questo significa che se la frase è vera deve essere falsa, ma se è falsa deve essere vera. • PROBLEMI RAPIDI Se cinque cani scavano cinque buchi in cinque giorni, quanto ci mettono dieci cani a scavare dieci buchi? Assumiamo che tutti scavino sempre alla stessa velocità e che tutti i buchi abbiano le stesse dimensioni. Risposta: Cinque giorni (ogni cane scava un buco in cinque giorni). Una signora acquista un pappagallo in un negozio di animali. Il commesso, che dice sempre la verità, le assicura: «Garantisco che questo pappagallo ripeterà tutto quello che sentirà». Dopo una settimana la signora porta indietro il pappagallo, protestando perché non ha detto neppure una parola. «Qualcuno gli ha parlato?» chiede sospettoso il commesso. «Certo». Qual è la spiegazione? Risposta: Il pappagallo è sordo • PREMI PER LA MATEMATICA Non esiste un premio Nobel per la matematica, ma ci sono vari premi ugualmente prestigiosi e un gran numero di premi minori, tra i quali: Medaglia Fields La medaglia Fields fu istituita dal matematico canadese John Charles Fields e fu conferita per la prima volta nel 1936. Ogni quattro anni l’Unione Matematica Internazionale assegna il premio a un massimo di quattro fra i maggiori matematici del mondo attivi nella ricerca, che abbiano meno di 40 anni. Il premio consiste in una medaglia d’oro e in una piccola somma di denaro - attualmente circa 13 500 dollari - ma il suo prestigio è considerato equivalente a quello di un premio Nobel. Premio Abel Nel 2001 il governo norvegese ha commemorato il duecentesimo anniversario della nascita di Niels Henrik Abel - uno dei più grandi matematici di tutti i tempi - con un nuovo premio. Ogni anno uno o più matematici condividono un premio dell’ordine di un milione di dollari, paragonabile alla somma che ricevono i vincitori di un premio Nobel. Il re di Norvegia conferisce il premio nel corso di una cerimonia speciale. Premio Shaw Sir Run Run Shaw, figura di spicco dei media di Hong Kong e filantropo da lunga data, ha istituito un premio annuale per tre aree della scienza: astronomia, scienze della vita e medicina, e matematica. Il valore complessivo assegnato ogni anno è di un milione di dollari, e c’è anche una medaglia. Il primo premio Shaw è stato conferito nel 2002. Premi del Millennio Clay Il Clay Mathematics Institute, a Cambridge nel Massachusetts, fondato da London T. Clay, un uomo d’affari di Boston, e Lavinia D. Clay, offre sette premi, ognuno di un milione di dollari, per le soluzioni definitive a sette importanti problemi aperti. Questi "problemi del millennio" sono stati scelti per rappresentare alcune delle più grandi sfide che i matematici si trovano di fronte. Per la cronaca, sono: - La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer in teoria algebrica dei numeri. - La congettura di Hodge in geometria algebrica. - L’esistenza di soluzioni valide per qualsiasi valore del parametro temporale delle equazioni di Navier-Stokes, nella dinamica dei fluidi. - Il problema P = NP? in informatica. - La congettura di Poincaré in topologia. - L’ipotesi di Riernann in analisi complessa e teoria dei numeri primi. - L’ipotesi dell’assenza di massa e problemi connessi per le equazioni diYang-Mills in teoria quantistica dei campi. Non è ancora stato conferito nessuno dei premi, ma la congettura di Poincaré è stata dimostrata. Il passo avanti più importante lo ha compiuto Grigori Perelman, e molti dettagli sono stati chiariti da altri matematici. Per maggiori dettagli sui sette problemi, si veda www.claymath. org/millennium/. Premio internazionale Re Faisal Tra il 1977 e il 1982 la Fondazione Re Faisal ha istituito premi per il servizio all’Islam, gli studi sull’Islam, la letteratura araba, la medicina e la scienza. Il premio per la scienza è aperto ai matematici, che lo hanno vinto alcune volte. Il vincitore riceve un certificato, una medaglia d’oro e 750 000 riyal sauditi (200 000 dollari). Premio Wolf Questo premio viene conferito dal 1978 dalla Fondazione Wolf, istituita da Ricardo Wolf e sua moglie Francisca Subirona Wolf. Copre cinque aree della scienza: agricoltura, chimica, matematica, medicina e fisica. Il premio consiste in un diploma e 100 000 dollari. Premio Beal Nel 1993 Andrew Beal, un texano appassionato di teoria dei numeri, ha formulato la congettura che se aᵖ + b(elevato alla q) = cʳ, dove a, b, c, p, q e r sono interi positivi e p, q e r sono tutti maggiori di 2, allora a, b e c devono avere un fattore in comune. Nel 1997 ha offerto un premio, innalzato nel frattempo a 100 000 dollari, per chi lo dimostrerà o confuterà. • CHE GIORNO È? Ieri papà non si ricordava che giorno della settimana fosse. «Ogni volta che andiamo in vacanza me lo dimentico» disse. «Venerdì» disse Darren. «Sabato» lo contraddisse la sorella gemella Delia. «Che giorno sarà domani, allora?» chiese la mamma, cercando di appianare la discussione nel modo più sereno possibile. «Lunedì» disse Delia. «Martedì» disse Darren. «Oh, perbacco! E allora che giorno era ieri?» «Mercoledì» disse Darren. «Giovedì» disse Delia. «Grrrrrrrr!» disse la mamma, facendo la sua famosa imitazione di Marge Simpson. «Ognuno di voi ha dato una risposta giusta e due sbagliate». Che giorno è oggi? Risposta: Oggi è sabato. (Come ho detto all’inizio, la conversazione si è svolta ieri). Le risposte di Darren implicano che il giorno della conversazione sia venerdì, lunedì o giovedì. Quelle di Delia implicano che sia sabato, domenica o venerdì. L’unico giorno in comune è venerdì. Quindi, il giorno in cui si svolse la conversazione era venerdì. • QUANTI/E… … diverse mani ci sono a bridge? 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 se distinguiamo le mani a seconda di chi (Nord, Sud, Est, Ovest) ha in mano quali carte. Se no, dividiamo per 8 (gli accoppiamenti N-S ed E-O devono essere mantenuti), ottenendo 6 705 592 220 686 099 104 904 680 000 … protoni ci sono nell’Universo secondo sir Arthur Stanley Eddington? 136 x 2 (elevato alla 256) = 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 … modi ci sono per riordinare i primi 100 numeri? 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000 a meno di non voler dire che "riordinare" esclude l’ordinamento usuale 1, 2, 3, ..., 100. In questo caso il numero è 93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 863 999 999 999 999 999 999 999 999 ... zeri ci sono in un googol? 100 Googol è una parola inventata nel 1920 da Milton Sirotta (9 anni), nipote del matematico americano Edward Kasner, che rese popolare il termine nel suo libro Mathematics and the Imagination. É pari a 10¹ºº, cioè 1 seguito da cento zeri: 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 ...zeri ci sono in un googolplex? 10¹ºº Googolplex è un’altra parola inventata, uguale a 10 elevato alla 10¹ºº, cioè 1 seguito da 10¹ºº zeri. L’Universo è troppo piccolo per scriverlo per esteso, e comunque la durata dell’Universo non basterebbe. A meno che il nostro Universo non sia parte di un multiverso molto più grande, e anche in quel caso non si vede perché qualcuno potrebbe aver voglia di farlo. • PARITÁ DI DIRITTI Una delle più importanti matematiche dell’inizio del XX secolo fu Emmy Noether, che studiò all’Università di Gottinga. Ma dopo che ebbe concluso il dottorato le autorità non le permisero di procedere alla posizione di Privatdozent, che le avrebbe permesso di farsi pagare dagli studenti per le lezioni. La ragione dichiarata era che alle donne non era consentito prendere parte alle riunioni del senato accademico. Si dice che il direttore del dipartimento di matematica, il grande David Hilbert, abbia osservato: «Signori! Non c’è niente di male ad avere una donna nel senato. Il senato non è un bagno pubblico». • TAUTOVERBI I matematici sono più prevenuti nei confronti della saggezza popolare, e sono soliti rivedere i proverbi per renderli più logici. O addirittura tautologici, cioè banalmente veri. Così il proverbio «Chi ben comincia è a meta dell’opera» diventa il tautoverbio «Chi ben comincia ha cominciato bene», che ha più senso ed è ineccepibile. E «Tutto è bene quel che finisce bene». Da bambino mi lasciava perplesso il fatto che, nella loro forma originaria, questi due proverbi sono un po’ in contraddizione, anche se ora capisco che questo è il meccanismo usuale con cui la saggezza popolare si assicura di essere percepita come saggia. Le versioni rivedute non sono in conflitto, dando chiara prova della loro superiorità. Vi mostro un altro paio di esempi per darvi il la, e poi vi lascio alle parole iniziali di vari proverbi. Il vostro compito è di completarli per farne dei tautoverbi. Il primo esempio è semplice e diretto, l’altro più elaborato. Vanno bene entrambe le forme. E va bene anche un commento servizievole, preferibilmente se è di un’ovvietà da far cadere le braccia. Gli arzigogoli logici sono attivamente incoraggiati: più sono pedanti e meglio è. - Chi va piano non va veloce. - Meglio una gallina oggi che un uovo domani, perché se tutto va bene ci penserà la gallina a fare le uova. D’accordo, ora tocca a voi. Completate nello stesso spirito i seguenti tautoverbi: - Niente nuove... - Più sono grossi... - Chi non risica... - La gatta frettolosa... - É come avere la botte piena... - Non c’è peggior sordo... - L’eccezione... Se vi è piaciuto questo gioco, vi consiglierei di chiamare uno psichiatra, ma aspettando che arrivi potrete trovare molti proverbi (inglesi) su cui lavorare all’indirizzo www.manythings.org/proverbs/index.html. Risposta: - Niente nuove niente nuove. (Gli esperti lo considerano il tautoverbio più piccolo ma più perfetto, una sorta di tautohaiku) - Più sono grossi, più sono grossi. - Chi non risica non perde. - La gatta frettolosa fa i gattini in fretta. - È come avere la botte piena e la moglie ubriaca, a meno di averle in quest’ordine. La cosa difficile è prima avere la moglie ubriaca e poi la botte piena. - Non c’è peggior sordo di chi è privo di udito. - L’eccezione smentisce la regola. (Altrimenti non è un’eccezione, oppure la regola è solo una tendenza generale).

IAN STEWART