Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

I problemi più astrusi della matematica si dovrebbero poter spiegare con parole semplici e piane, comprensibili anche per la prima persona che si incontra per la strada. Così affermava il noto matematico David Hilbert nel corso di una celebre conferenza a Parigi nel 1900, in cui si elencavano tra l´altro i più importanti problemi che avrebbero dovuto impegnare i matematici nel secolo a venire. Ma si possono trasmettere così facilmente i contenuti più astratti di una disciplina che perfino i più valenti matematici fanno fatica a comprendere? Una disciplina di cui lo stesso scienziato, al di là del piacere che possono procuragli le sue scoperte, non saprebbe spiegare con sicurezza il senso, l´origine e lo scopo? Per rispondere a una simile domanda occorrerebbe avere almeno qualche idea sulla natura stessa della matematica, cosa per altro più difficile di quanto si pensi. Basta ricordare che la matematica custodisce gelosamente, in simboli e formule accessibili a pochi, concetti di portata incalcolabile, come quelli di infinito, di numero, di casualità, di struttura, di continuo; concetti che non possiedono una definizione univoca e di cui si ignorano ancora diversi, importanti risvolti. Ad esempio: di che natura è il rapporto tra continuo e discreto? Quale dei due è prioritario, oppure quale dei due è approssimazione dell´altro? Un ostacolo alla trasmissione del sapere matematico sono, inoltre, numerosi malintesi sostenuti da preconcetti ancora diffusi nei migliori ambienti accademici. Tra gli altri, la convinzione che i ragionamenti matematici consistano in catene di deduzioni ricavate da un sistema di assiomi. Eppure, già prima della metà del ´900, insigni logici e matematici credevano fosse necessario un completo rovesciamento del sistema assiomatico-deduttivo, a favore di un più ampio riconoscimento del carattere intuitivo e imprevedibile della verità matematica. Anche la convinzione che la matematica fosse traducibile nella logica pura, ovvero in un breve elenco di verità logiche evidenti, si è rivelata alla fine un errore. Quella stessa convinzione ha pure accreditato il luogo comune di una matematica concepita in modo rassicurante come "linguaggio", discorso rigoroso purificato da ogni possibile ambiguità e contraddizione, logos maturato attraverso il dialogo perfezionato dall´uso di ipotesi, tecniche analitiche e dimostrazioni per assurdo. Per spiegare la matematica come voleva Hilbert si dovrebbero anzitutto evitare simili malintesi e luoghi comuni, che possono indurre a una visione completamente distorta della disciplina e del sapere scientifico che di essa si avvale. Un espediente più plausibile, perché più conforme alla natura della matematica e della sua storia, sarebbe invece quello di far rivivere il nesso tra astrazione e concretezza, tra le teorie avanzate e le verità elementari. Teoremi elementari di aritmetica o di geometria sono spesso all´origine di complessi sistemi di conoscenze astratte; ne costituiscono il substrato intuitivo, perfino riconducibile, in qualche caso, all´attività percettiva. Strutture astratte si possono letteralmente "vedere" in figure elementari e possono prendere corpo in processi computazionali che si svolgono concretamente, nel tempo e nello spazio, all´interno di un calcolatore. Processi, o algoritmi, dai quali dipende pure il nesso tra la realtà fisica e la matematica ad essa applicabile. Ma i numeri e le figure della geometria elementare, i triangoli, i cerchi o i quadrati, non sono a loro volta enti di cui sfuggono l´origine, il senso e lo scopo, una sorta di sfingi incomprese, come avrebbe forse detto Baudelaire? Le fonti antiche sono scarse e spesso enigmatiche, ma bastano a ipotizzare per questi enti una segreta parentela iniziale con gli dèi, con cui condividevano chiarezza e trasparenza, come pure incertezza e difficoltà di discernimento (il caso di Prometeo). Semplici figure geometriche bastavano da sole, infatti, a suscitare questioni difficili o inestricabili, come l´incommensurabilità e l´esistenza dei numeri irrazionali. Il carattere "divino" della matematica è una costante di tutto il pensiero occidentale e orientale, da Platone e dalla cultura dei Veda almeno fino a Leibniz, al quale si deve l´adagio - che ripropone i temi del libro della Sapienza - cum Deus calculat et cogitationem exercet fit mundus: il mondo si forma grazie al pensiero e al calcolo di Dio. Lo stesso concetto di logos, uno dei concetti chiave di tutta la tradizione occidentale, sarebbe incomprensibile se gli dèi non ci avessero fatto scoprire la matematica. Si è spesso sostenuto che la ragione matematica sarebbe nata dalla dialettica antica; ma potrebbe essere vero anche l´opposto: che la dialettica si sia modellata sulla ragione matematica. Il beltistos logos di Socrate, il discorso migliore tra i tanti possibili, non si capirebbe se si ignorassero un´aritmetica e una geometria già note in civiltà più antiche di quella greca. In breve: tutta la nostra cultura presuppone una matematica i cui caratteri "originari" la ponevano ai vertici del complesso sistema di gerarchie in cui si riteneva di poter articolare il cosmo. In tempi più recenti è ben nota l´importanza che Einstein attribuiva a una religiosità cosmica fondata sulla matematica, riscontrabile nella Bibbia come in Spinoza; e la matematica era "divina" anche per John von Neumann, a prescindere - egli precisava - da qualsiasi considerazione che riguardasse la sua utilità pratica. La necessità di poter spiegare con parole semplici la matematica suona anche come la necessità di non perdere il nesso con le intuizioni più semplici, con i motivi più concreti che sono alla base dei teoremi più astratti e che sono pure un banco di prova della loro fondatezza e plausibilità. Ma la semplificazione divulgativa non basta da sola, se non è sorretta da un interesse e da un´ispirazione che fanno cercare il senso di quelle intuizioni nelle situazioni reali in cui l´indagine storica è oggi in grado di collocarle. Un´ispirazione che si trova nei Dialoghi di Platone, ma che è ancora viva nelle pagine di matematici moderni come Cantor e Poincaré, Brouwer e Hilbert, Weyl e von Neumann.

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