Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Narra una storia medievale che quando il Gran Visir Sissa Ben Dahir presentò al re indiano Shirham il gioco degli scacchi da lui inventato, il sovrano gli chiese cosa volesse in cambio. La risposta fu: «Sire, mettetemi un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza, e così via, fino alla sessantaquattresima». «Tutto qua?», domandò il re. Ma il Vizir gli fece notare: «Maestà, credo di averle chiesto più grano di quanto lei abbia nel suo regno. Anzi, di quanto ce ne sia nel mondo intero». E aveva ragione, perché il numero di chicchi richiesto corrisponde alla somma dei primi 64 termini della progressione geometrica di ragione 2 che inizia con 1: un numero enorme, appunto, pari precisamente a 2 alla 64 meno 1, e approssimativamente al doppio di 2 alla 19. Poiché su un metro quadrato si possono seminare all´incirca 50 chicchi di grano, su una sfera come la Terra, di raggio pari all´incirca a 6000 chilometri, se ne possono seminare all´incirca il doppio di 2 alla 16: la richiesta del Vizir equivaleva dunque al grano che si può seminare su mille terre, oceani inclusi! Più che dire qualcosa sugli scacchi, questa storia è una metafora orientale antica di quello che oggi chiamiamo la crescita esponenziale. Una metafora che era nota anche in Occidente, visto che quando Dante vuole suggerire l´enormità del numero delle luci del cielo, nel ventottesimo canto del Paradiso, si limita a dire che «eran tante, che ”l numero loro più che il doppiar de li scacchi s´immilla». Ma non c´è bisogno di scomodare visir, re e poeti, per raggiungere cifre altrettanto vertiginose sulla scacchiera: basta un calcolo approssimativo delle prime dieci mosse possibili. Tenendo conto che ciascun giocatore ha 20 possibili aperture (2 per ciascuno degli 8 pedoni, e 2 per ciascuno dei 2 cavalli), i possibili primi scambi di mosse sono 400. E anche tralasciando il fatto che le mosse successive possibili sono in genere di più, perché i pezzi si liberano via via, per i primi dieci scambi di mosse si arriva subito alla cifra di 400 alla 10, cioè all´incirca 10 alla 23. Ancora di più sono le possibili configurazioni dei 32 pezzi sulle 64 caselle della scacchiera: appunto 64 alla 32, cioè all´incirca 10 alla 57. Il che pone un limite alla lunghezza delle possibili partite, perché quando due configurazioni si ripetono esattamente nel corso di una partita, ciò che è successo nel frattempo non ha importanza e poteva essere evitato. Anche considerando soltanto partite ragionevoli, di al più 100 mosse e con una media di 40 possibili mosse ogni volta, si arriva a un numero pari a 100 alla 40, cioè 10 alla 80, che è uguale al numero stimato di particelle dell´universo. Il mondo degli scacchi è dunque di una complessità analoga a quella del mondo fisico, e per il matematico esso si riduce in teoria al gigantesco, ma pur sempre finito, Albero della Conoscenza Scacchistica, comprendente tutte le possibili mosse di tutte le possibili partite. Il primo livello di questo albero consiste delle 20 aperture del Bianco, ciascuna seguita dalle 20 possibili aperture del Nero: cioè, dei 400 possibili primi scambi di mosse. E ciascun livello successivo dell´albero si ottiene da quello precedente, aggiungendo a ogni nodo tutte le possibili risposte. Per i calcoli accennati in precedenza, ciascun ramo dell´albero è finito, e descrive una possibile partita. Naturalmente, fa parte delle regole del gioco che in qualunque partita o vince il Bianco, o vince il Nero, o i due giocatori pattano. Al Congresso Internazionale dei Matematici del 1912 Ernst Zermelo notò però qualcosa di molto più sorprendente: o esiste una strategia che permette al Bianco di vincere sempre, o esiste una strategia che permette al Nero di vincere sempre, o esiste una strategia che permette ad entrambi i giocatori di pattare sempre (la parolina chiave del teorema di Zermelo è, naturalmente, quel triplice «sempre»). La dimostrazione è sorprendentemente semplice, e vale la pena di riportarla per mostrare come la matematica sia qualcosa di molto diverso da ciò che in genere la gente si immagini. L´idea è di supporre che i primi due casi non valgano, e di dimostrare che allora deve valere il terzo. Supponiamo, dunque, che non esistano strategie che permettano al Bianco di vincere sempre, o al Nero di vincere sempre. Poiché il Bianco non ha una strategia di vittoria, nessuna sua apertura può essere vincente fin dagli inizi: deve cioè essere possibile per il Nero rispondere in modo che potrebbe condurre a una sua vittoria o a una patta. Poiché però neppure il Nero ha una strategia di vittoria, il Bianco può scegliere un´apertura che non è perdente fin dagli inizi: cioè, una mossa tale che, comunque il Nero risponda, sarà possibile al Bianco rispondere a sua volta in modo tale che potrebbe condurre a una sua vittoria o a una patta. Una situazione analoga vale per il Nero, ed è dunque possibile per entrambi i giocatori muovere in modo che, dopo le loro aperture, nessuno dei due si trovi in una situazione che potrebbe inevitabilmente portare a una vittoria altrui. Ma questa era appunto la situazione di partenza, e allora il ragionamento si può ripetere indefinitamente: esiste cioè una strategia per entrambi i giocatori, che impedisce all´avversario di vincere, e permette dunque a entrambi di pattare. Naturalmente, la dimostrazione non ci dice non solo quale sia la strategia, ma neppure di che tipo essa sia: se di vittoria per il Bianco, di vittoria per il Nero, o di patta per entrambi. Il teorema di Zermelo è dunque un tipico risultato puramente esistenziale, in grado di dimostrare l´esistenza di qualcosa ma non di esibirla: la stessa cosa succede quando si afferma che, ovviamente, tra le persone presenti in una sala ce n´è una con il maggior numero di capelli, ma non si è in grado di dire chi sia (le cose andrebbero diversamente se si cercasse invece la persona con il minor numero di capelli, e ci fosse qualcuno completamente calvo). Pur con le sue limitazioni, il teorema di Zermelo è stato comunque il primo fondamentale passo della teoria dei giochi, che studia le situazioni di conflitto tra due o più contendenti, e ha già portato a ben cinque premi Nobel per l´economia (John Harsanyi, John Nash e Reinhard Selten nel 1994, e Robert Aumann e Thomas Schelling nel 2005). Negli scacchi, invece, la teoria dei giochi non ha finora portato da nessuna parte: al più si può immaginare che, visto l´innegabile vantaggio che il Bianco ha sul Nero, la strategia di cui il teorema dimostra l´esistenza debba essere di vittoria per lui, o al più di pareggio per entrambi. Più lontano della teoria matematica è invece andata la pratica informatica, che si è fin da subito interessata a simulare o emulare al calcolatore l´attività dello scacchista. I due termini sono da tenere nettamente distinti: la simulazione cerca infatti soltanto di riprodurne gli effetti, cioè di fare buone mosse, mentre l´emulazione cerca anche di risalirne alle cause, cioè di riprodurre i processi mentali del giocatore. Inutile dire che l´emulazione, benché molto più interessante della simulazione, è anche molto più difficile, e dunque ha avuto finora molto meno successo: il suo proponente di maggior spicco è stato l´ingegnere elettronico Mikhail Botvinnik, tre volte campione del mondo tra il 1948 e il 1963, che dopo aver perso il titolo si dedicò appunto a sviluppare programmi emulativi che finora non sono andati troppo lontano. Il più lontano possibile sono invece andati i programmi simulativi, via via più sofisticati: dal Turochamp scritto nel 1951 addirittura da Alan Turing, che perse malamente contro un uomo qualunque dopo sole 29 mosse, al Deep Blue che esattamente dieci anni fa, nel 1997, riuscì a battere per la prima volta un campione mondiale in carica, Gary Kasparov (una specie di contrappasso, visto che da giovane lui era stato allievo di Botvinnik). Non c´è comunque da stupirsi che le macchine si divertano ossessivamente a giocare a scacchi, arrivando perfino a partecipare ad appositi campionati per programmi, il primo dei quali tenuto nel 1974: in fondo, il gioco ha sempre attratto le menti più disparate. Da Palamede, che lo usava come rito di iniziazione per i cavalieri della Tavola Rotonda, a Tristano, che fu sorpreso dal re a giocare con Isotta nella sua camera da letto. Da papa Nicolò II, che da vescovo era stato censurato per questa sua passione, a Ivan il Terribile, che morì durante una partita. Da Napoleone, che perse contro una delle macchine di von Kempelen descritte da Egar Allan Poe, a Albert Einstein, che scrisse la prefazione alla biografia del matematico e campione mondiale Emanuel Lasker. Da Humphrey Bogart, che suggerì al regista la scena iniziale di Casablanca, a Stanley Kubrick, che girò in 2001 Odissea nello spazio la famosa partita col calcolatore. E così via, fino alla Morte stessa, che giocò col cavaliere nel Settimo sigillo di Ingmar Bergman, a ricordarci che purtroppo è lei ad avere la strategia vincente in quella partita persa che è la vita.

PIER GIORGIO ODIFREDDI