Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Andare pazzi per il 231. Il Sole 24 Ore 11 marzo 2007. Mi hanno chiesto di scrivere sulla bellezza dei numeri. Ottomila battute, o giù di lì. Sarebbe geniale, ma io purtroppo non conosco ottomila battute, per non parlare di battute sulla bellezza dei numeri. Questa battuta (quale?) è forse l’unica che io conosca, e non è neanche sull’argomento giusto. Allora invece scriverò delle parole sulla bellezza dei numeri, le parole essendo assai più semplici delle battute. Dunque, ci troviamo nell’anno 2007, per caso il 300º anniversario del grande matematico svizzero Leonardo Eulero (il cui nome mi fa pensare all’autore inglese Carlo Diccheni e al politico americano Giovanni Fizzogeraldo Chennedio). Noi esseri umani abbiamo l’abitudine di festeggiare anniversari come il 300º. Ma perché? Cosa c’è d’interessante nel numero 300? vero che è uguale a 3 per 100, ma 100 è interessante? vero che 100 è il quadrato di 10, ma 10 è interessante? Mah... è il numero di dita che abbiamo noi esseri umani. Alla fine, non ha molto a che vedere con la matematica. E se chiedete a un matematico se trova interessante 300, dirà sicuramente «No!» I matematici hanno un gusto un po’ particolare. Anzi, molto particolare. Vi darò un esempio di un bel numero dal punto di vista di un matematico. Si tratta infatti di me, e io di professione non sono un matematico, ma vabbè sono qualcuno che si occupa fin dall’infanzia della matematica, allora per questo scopo credo di contare (per così dire). (Contate le battute voi? Io no). Dunque. Stavo guidando, un paio di anni fa, sulla strada 231 dello Stato d’Indiana. Questo fatto non è molto sorprendente, siccome vivo in quello Stato, ma quel che interessa, almeno leggermente, è che avevo guidato su quella strada delle dozzine di volte senza mai aver fatto caso al numero 231, ma quel giorno, chissà perché, mi dissi, «Ah! Mi par di ricordar quel numero. Dove l’ho visto prima?». E dopo un attimo di riflessione mi venne la risposta: è un numero "triangolare", il che vuol dire che è la somma di tutti gli interi fino a un certo punto. Per esempio, 10 è triangolare: Si può concepire come una pila bidimensionale di palle di cannone. Per dirlo in cifre, 10 è uguale a 1 + 2 + 3 + 4. Immaginatevi adesso la stessa cosa ma invece di avere solo 4 livelli ne ha 21. Quante palle di cannone ci sarebbero? Cioè, quanto fa 1 + 2 + 3 + ............ + 19 + 20 + 21? La risposta? 231! Sì, il numero di quella strada statale, e io non avevo mai notato questa proprietà interessante del numero 231. Ma mi chiederete, perché 231 è interessante se 10 non lo è? Tutt’e due sono numeri triangolari! Ah, sì, avete ragione. Però, c’è qualcos’altro che ho dimenticato di dirvi, e che aumenta di gran lunga l’interesse di 231. Al momento di riconoscere il fatto che 231 è il numero triangolare di 21, mi dissi, «Ah, ma 21 non è anche lui un numero triangolare?». Vedete, le cose diventano più intrecciate. Eh, sì, in effetti, 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Dunque 21 è il numero triangolare di 6. Ma non siamo giunti alla fine! Anche 6 è un numero triangolare, perché 6 = 1 + 2 + 3. Abbiamo finalmente finito? Eh, no, mi dispiace. Anche 3 è un numero triangolare: 3 = 1 + 2. E qui si finisce davvero. Per riassumere, allora, 231 è il numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare del numero triangolare di 2. Non c’è male, eh? Ecco perché si può dire che 231 è interessante dal punto di vista di un matematico; perché possiede una descrizione molto semplice e sorprendente e, in un certo senso, molto bella. E finalmente, in più, questa proprietà di 231 è una cosa che si può generalizzare. Cioè, esiste una sequenza infinita di tali "triangoli iterati", dove ogni nuovo elemento è il numero triangolare del suo predecessore. Guardate: 2 3 6 21 231 26796 359026206 64449908476890321 2076895351339769460477611370186681 2156747150208372213435450937462082366919951682912789656986079991221. Come diciamo in inglese, "Let’s quit while we’re ahead". Crescono incredibilmente rapidamente questi triangoli iterati, non è vero? La ragione non è difficile da scoprire. C’è una formula per il numero triangolare di qualsiasi numero n, cioè n x (n + 1)/2. Prendiamo l’esempio di n = 21. Si calcola che 21 x 22/2 = 21 x 11 = 231. Giusto! Questa formula semplice implica che il numero triangolare di n conterrà (più o meno) due volte il numero di cifre in n. E vedete che questo fatto si realizza nella sequenza qui sopra. Il triangolo iterato successivo, se ve lo facessi vedere, occuperebbe due righe intere di testo, quello successivo occuperebbe quattro righe, poi otto, poi sedici, trentadue, e buona notte. Se avessi voglia di finire in fretta questo articolo con le sue ottomila battute, mi basterebbe estendere la sequenza di triangoli iterati di solo quattro o cinque membri, e zacchete! Ecco fatto! Ma non sono così pigro. Per niente. Inoltre ho ancora delle cose da dirvi. La nostra lezione non è ancora finita. Se si guardano questi triangoli iterati, si vede che finiscono tutti o in "1" o in "6". Non all’inizio della sequenza, certo, ma dal terzo numero in poi è così. E questo fatto si può facilmente dimostrare (non lo faccio qui, ma è una buona sfida per quelli che si divertono matematizzando). Ma quand’è che avviene un "1" e quando avviene un "6"? Ahimè, la domanda diventa molto più dura. Ci stiamo in effetti chiedendo, «Quando sarà pari un triangolo iterato, e quando sarà dispari?». Se rappresentiamo i triangoli iterati pari per "p" e quelli dispari per "d", allora viene fuori questa serie di lettere: p d p d d p p d d d d p p d p d d d p p p d d p p d p d d d ... Si percepisce qualche regolarità qui dentro? Ebbene, proviamo. Contiamo, per esempio, la lunghezza dei gruppetti di "d" e di "p". Otteniamo questa nuova sequenza: 1 1 1 2 2 4 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3...  intrigante, ma non si vede nessuna regola chiara. Magari tutti gli elementi della sequenza sono inferiori a 5. Una buona ipotesi! Sarebbe bellissimo, ma perché mai sarebbe così? O magari (saltando il primo "1") c’è un ritmo di coppie: 11, 22, 42, 11, 33, 22, 11,... Un’altra buona ipotesi! Sarebbe bellissimo anche in questo caso, ma perché mai sarebbe così? Il mio amico fisico Greg Huber ha trovato un bel trucco per calcolare i termini di questa sequenza nascosta nei triangoli iterati, ed eccone i primi 50 per voi: 111224211332211323131311212113134232223111291111111... ¡Ay, ay, caramba! Quel 9 scassa tutto! Da dove diavolo viene? In uno scambio transatlantico di messaggi elettronici, un gruppo di amici matematici indagò questo piccolo mistero, e fu il matematico milanese Enrico Laeng a vedere più chiaramente di tutti. Egli dimostrò che tutto dipende dalla fattorizzazione in numeri primi di questi triangoli iterati enormi, e in particolare il segreto si nasconde nel numero di fattori primi della forma 4n + 3 (per esempio, 19 o 23, ma non 17 o 13). Non entrerò qui nei dettagli perché è troppo tecnico, ma si vede che una piccola domanda innocente che mi posi mentre guidavo sulla strada diventò per più di una settimana un rompicapo sottile per alcuni matematici sparpagliati qua e là nel mondo, e che la risoluzione della domanda ci portò fino alla distribuzione dei numeri primi, un ramo molto ricco e profondo della teoria dei numeri. Tutti i matematici passano il loro tempo così? Beh, la maggior parte fa indagini simili, solo in spazi molto più astratti. Ma ovunque facciano le loro indagini, i matematici cercano regolarità nascoste, cercano sorprese, misteri, ordine nel caos, e caos nell’ordine. E come abbiamo appena visto, dei grandi misteri dove ordine e caos sono intimamente mescolati possono spuntare nei contesti più modesti e quotidiani. Basta avere la mente aperta e curiosa. Dunque, sono finalmente giunto alla fine del mio articoletto sulla bellezza dei numeri. Mi domando quante battute contiene. Guardiamo un po’. Il programma Word ne conta 8.192, e ogni battuta contiene 8 bits, allora 65.536 bits in tutto. Ah! Mi par di ricordar quel numero. Dove l’ho visto prima? Che proprietà matematica potrebbe avere? Hmm... Douglas Hofstadter

IL SOLE 24 ORE 11/03/2007