Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Nemmeno la forza dei numeri può tutto. TST La Stampa 19 aprile 2006. KURT Gödel (1906-78) è uno dei grandi pensatori del ’900, ma rischia di essere conosciuto soprattutto per le interpretazioni post-moderniste dei suoi risultati. Si trovano usi dell’incompletezza persino nell’apologetica religiosa, come quando si sostiene, come conseguenza dei suoi teoremi, che la scienza deve essere fondata su qualcosa di diverso dalla scienza stessa, o che l’universo richiede per la sua spiegazione una realtà più alta, di natura differente. In filosofia della mente si pretende che abbia dimostrato la superiorità dell’uomo sulle macchine. Gödel ha invece avuto una influenza epocale sulla matematica e la scienza grazie alla parte meno nota delle sue prestazioni, vale a dire alle tecniche da lui inventate per le sue dimostrazioni, tecniche che sono legate a nuovi e formidabili concetti. Neanche i matematici conoscono bene i suoi contributi, perché vivono ancora nella errata credenza che la logica sia filosofia e si rifiutano di studiarla. Gödel ha dimostrato che nell’aritmetica - e in ogni teoria che la estenda - esistono proposizioni indecidibili, cioè né dimostrabili né refutabili, e che la coerenza della teoria non è dimostrabile con strumenti della stessa forza deduttiva della teoria. Nella dimostrazione, che trasforma l’elegante argomento del mentitore in una inferenza positiva rigorosa, Gödel ha dato origine alla trattazione matematica dei linguaggi; i paradossi sono causati dall’autoriferimento, cioè si possono costruire in linguaggi che parlano di linguaggi, in particolare di se stessi, come è il caso dei linguaggi naturali. Per realizzare la trattazione aritmetica del linguaggio che parla dell’aritmetica è stato necessario isolare una classe di operazioni sintattiche - aritmetiche nella codifica - che avessero la proprietà di essere definibili nell’aritmetica, e in modo tale che le loro proprietà fossero dimostrabili in modo completo; da qui è venuto il riconoscimento di una classe di funzioni, dette calcolabili, poi ripresentata come quella delle macchine di Turing, equivalente, e infine come quella delle funzioni programmabili. La teoria dei calcolatori nasce dalle ricerche di Gödel, come la teoria dei linguaggi formali. Il problema dell’incompletezza e della non contraddittorietà era drammatico all’inizio del secolo scorso, ora è meno sentito, mentre le ricadute della dimostrazione continuano a essere feconde. Così come per gli altri contributi di Gödel. Prima dell’incompletezza Gödel aveva dato la definitiva omologazione ai sistemi di logica elaborati tra ’800 e ’900 (Frege, Peano, Hilbert), dimostrando che con essi ogni teoria deduttivamente non contraddittoria aveva un’interpretazione: era la giustificazione teorica dell’algebra moderna e della semantica. Nella teoria degli insiemi Gödel è stato il primo a riconoscere diverse classi di insiemi, diversamente definite, che soddisfano gli assiomi. In particolare la prima classe da lui definita, quella degli insiemi costruibili, ha permesso di dimostrare la non contraddittorietà dell’assioma di scelta e dell’ipotesi del continuo e di iniziare uno studio raffinato degli insiemi di numeri reali. In fisica Gödel ha trovato nuove soluzioni cosmologiche per le equazioni della relatività, con la curiosa proprietà di un possibile tempo ciclico, e relativa possibilità del viaggio nel tempo. La filosofia della matematica di Gödel è interessante perché, cresciuto nel clima del neopositivismo, se ne è staccato arrivando a posizioni realiste e a un recupero della visione fenomenologica di Husserl. Benché desiderasse provare che la mente non si riduce al cervello, aveva l’onestà di ammettere che dal teorema di incompletezza si deduce solo che, se la mente è una macchina, allora è una macchina che non conosce il proprio programma o, se lo conosce, non può dimostrarne la coerenza. Università di Torino Gabriele Lolli

TST LA STAMPA 19/04/2006