Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Leonardo risponde. Eratostene e il setaccio dei numeri. Il Sole 24 Ore 06/10/2005. Il signor Marco Bonanno scrive: "Perché non si riesce a trovare una formula che riesca a determinare i numeri primi?". Risponde Alessandro Zaccagnini, professore associato del dipartimento di Matematica dell’Università di Parma. I numeri primi sono quei numeri che non ammettono divisori diversi dalla cifra 1 e da loro stessi: così avviene per il 5, per l’11, per il 43 e così via. Il sistema più semplice e più antico per ricavare numeri primi è chiamato "crivello di Eratostene", dal nome del matematico greco del III secolo a.C. che lo propose. Questo metodo consiste nello scrivere tutti i numeri naturali fino a un certo valore, per poi cancellare dal l’elenco i multipli di 2, di 3, e così via, fino al valore il cui quadrato è superiore o uguale al limite prescelto. Così, se si vogliono calcolare tutti i numeri primi fino a 100 si cancelleranno tutti i multipli di 2, di 3, fino a quelli di 10, la cui sequenza è peraltro già compresa in quella del 2. Il crivello di Eratostene si comporta quindi come un setaccio che, alla fine della sua applicazione, porta alla luce tutti i numeri primi compresi in un determinato intervallo. Fino a oggi, in effetti, non è stato trovato un sistema migliore di questo. Oggi il crivello di Eratostene è utilizzato nei calcolatori con alcuni trucchi e algoritmi che ne migliorano l’efficacia, ma i principi base sono rimasti gli stessi di quando fu enunciato la prima volta. Non è però corretto dire che non esistono formule per calcolare i numeri primi, in quanto queste in realtà vi sono, anche se non hanno un’elevata utilità pratica. Infatti queste sono più delle curiosità che delle formule utilizzabili ai fini pratici.  possibile, ad esempio, partire dal teorema di Wilson, un enunciato matematico che pone una condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia primo utilizzando l’operazione fattoriale e il concetto di modulo. Questo teorema permette di sapere quanti numeri primi esistono prima di un certo numero, e da qui è possibile ricavare una formula per calcolare l’n-esimo numero primo. Il problema è che formule che si ricavano in questo modo non sono utilizzabili in pratica, perché richiedono alla fine più calcoli di quelli necessari per applicare il crivello di Eratostene. Un discorso analogo vale per un’altra formula scoperta nel XX secolo, chiamata "di Gandhi", che permette di passare da un numero primo al successivo, e ha quindi il vantaggio teorico di permettere di ricavare tutti i numeri primi. Il problema di questa formula, abbastanza semplice in apparenza, è che contiene una sommatoria, ossia una somma di diversi elementi. Tale somma è legata a tutti i possibili divisori del prodotto ottenuto moltiplicando tutti i numeri primi minori di quello che si sta cercando. Il risultato è che la sommatoria cresce enormemente in breve tempo, rendendo inutilizzabile in pratica l’applicazione della formula di Gandhi.. Esistono comunque anche procedure di calcolo più semplici che permettono, per esempio lavorando sui polinomi, di ottenere dei numeri primi. Tuttavia, queste formule hanno lo svantaggio di dare origine solo a numeri primi (e qualcuna anche a tutti), ma a volte non in ordine crescente. E, comunque, sono ancora una volta difficili da manipolare. Per quanto sia difficile leggere nel futuro, ritengo comunque che non sarà facile arrivare in tempi brevi alla scoperta di una formula che permetta di generare l’intera sequenza dei numeri primi con calcoli semplici. Tuttavia la ricerca continua, e costituisce uno dei campi più affascinanti della matematica. Testo raccolto da Andrea Carobene