Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

Resisteva da quasi cento anni sotto il fuoco incrociato dei matematici di tutto il mondo. Ma ora anche la più famosa congettura della topologia dell’ultimo secolo è stata espugnata. Il matematico inglese Martin Dunwoody dell’università di Southampton ha annunciato nello scorso aprile di avere finalmente dimostrato la congettura di Poincaré, pubblicando la dimostrazione su Internet e candidandosi come probabile vincitore di ben 1 milione di dollari, messi in palio due anni fa dal Clay Mathematics Institute di Cambridge, in Massachussets. ENIGMA DI POINCARE’ Fu il matematico francese Henri Poincaré ad avanzare l’ipotesi che ora porta il suo nome nel 1904. La sua congettura è rimasta per anni il più famoso problema irrisolto della topologia. La topologia è una branca della matematica che studia le proprietà generali delle figure geometriche. anche conosciuta come la matematica del foglio di gomma. Si occupa, infatti, di tutte le possibili deformazioni di una figura disegnata su un foglio elastico. Lo scopo è quello di individuare quelle proprietà che rimangono invariate stirando, comprimendo o torcendo una figura. Non è importante che una figura sia tonda o quadrata, perché stirandola possiamo trasformare l’una nell’altra. Così per la topologia il triangolo è equivalente al cerchio, mentre un disco e una sfera non lo sono. Il tutto è complicato dal fatto che la topologia prende in considerazione non solo le figure bidimensionali, ma anche i solidi a tre o più dimensioni, impossibili da visualizzare. La congettura di Poincaré riguarda una speciale proprietà delle sfere. Immaginiamo che l’equatore terrestre sia un immenso elastico teso. Se lo allunghiamo verso nord, senza mai staccarlo dalla superficie della Terra e lo facciamo scorrere lungo tutti i paralleli, una volta raggiunto il polo nord l’elastico-equatore si ridurrà a un punto, il polo nord appunto. Poincaré sapeva che la sfera, che in topologia si chiama 2-sfera, è l’unica superficie chiusa a possedere questa proprietà. Passando, poi, allo studio delle sfere in più dimensioni, le N-sfere (perché sono a N dimensioni, cioè sono costruite in uno spazio a N dimensioni dove N è uguale a un numero intero), il matematico francese intuì che queste sfere godevano della stessa proprietà. La congettura rimase irrisolta fino al 1960, quando il matematico americano Stephen Smale dimostrò che corrispondeva a verità per tutte le ipersfere di dimensione maggiore o uguale a 5. Nel 1981 un altro americano, Micheal Freedmann, estese la validità dell’ipotesi di Poincaré alle 4-sfere. Mancavano all’appello, quindi, solo le 3-sfere, proprio quelle per cui la congettura fu originariamente formulata. Il matematico David Hilbert sosteneva nel 1900 che «la ricchezza di problemi denota la vitalità di una scienza». A distanza di oltre 100 anni, molti problemi hanno trovato soluzione, ma altri ne sono sorti e alcuni resistono ancora inespugnati da secoli. CONGETTURA di Goldbach È una congettura sui numeri primi elaborata 250 anni fa. La sua semplicità è disarmante: qualsiasi numero pari superiore a 2 è la somma di due numeri primi. Nel marzo del 2000, in occasione della pubblicazione del libro Zio Petros e la congettura di Goldbach, la casa editrice del volume ha messo in palio un milione di dollari a chi, entro due anni, sarebbe riuscito a dimostrare la veridicità della congettura. Attualmente i calcolatori hanno potuto verificare che il matematico Christian Goldbach ci aveva visto giusto, almeno per tutti i numeri fino a 400 mila miliardi. Per la matematica si deve dimostrare che l’ipotesi è valida per tutti gli infiniti numeri interi, ma per dimostrarlo non basterebbero tutti i calcolatori del mondo. IPOtESI di Riemann La distribuzione dei numeri primi lungo la sequenza dei numeri interi è uno degli enigmi irrisolti della teoria dei numeri. Sembra infatti che i numeri primi non seguano una distribuzione regolare e non è ancora stata scovata una formula che permetta di generare tutti gli infiniti numeri primi. Nel 1859 Bernhard Riemann formulò un’ipotesi che, se dimostrata, potrebbe risolvere questo mistero. Riemann ipotizzò che la frequenza dei numeri primi è molto simile al comportamento delle soluzioni di una funzione, chiamata funzione z(s) di Riemann, che coinvolge i numeri complessi. La congettura afferma che tutte le soluzioni della funzione z(s) = 0 si trovano su una determinata retta. La validità di questa ipotesi è stata finora provata con l’aiuto del calcolatore per 1500000000 soluzioni (un numero grande e poco leggibile, senza separazione in migliaia). P=NP? Immaginiamo che un commesso viaggiatore debba visitare 50 città. Naturalmente è nel suo interesse che il giro avvenga con la minore perdita di tempo e di denaro. Esiste un algoritmo per scegliere il percorso più economico? Per l’informatica questo è un problema di tipo NP (non polinomiale), un problema cioè che non può essere risolto in modo efficiente (in un tempo ragionevole) con un algoritmo. Basti pensare che per sole 10 località si dovrebbero confrontare tra loro tutti i 3.628.800 percorsi possibili. Un problema risolvibile con un algoritmo efficiente si chiama problema di tipo P (polinomiale). Un problema NP è uguale a un problema P? La questione fu sollevata nel 1971 da Stephen Cook e rappresenta uno dei problemi aperti più significativi della matematica computazionale. Infatti, nonostante la differenza tra problemi P e NP sembri evidente, non è ancora stato dimostrato dal punto di vista matematico che un problema NP non possa essere ricondotto a un problema di tipo P. Per risolvere la questione, basterebbe trovare un unico problema NP che si possa dimostrare non essere di tipo P, ma l’impresa non è affatto facile. Se effettivamente un problema NP si potesse ricondurre a un problema P, sarebbe possibile trovare un algoritmo efficace per risolverlo. BIRCH E SWINNERTON-DYER  una congettura che riguarda le curve ellittiche e la teoria dei numeri. Fu proposta nel 1965 da Birch e Swinnerton-Dyer per dirimere la questione sull’infinità o meno dei punti di coordinate razionali che giacciono su una curva ellittica. Le curve ellittiche sono curve algebriche che si trovano quando si cerca di calcolare la lunghezza di un arco di ellisse. Un criterio per determinare se una curva ellittica ha un numero finito o infinito di soluzioni è nascosto nelle proprietà di una particolare funzione, detta L(s), correlata alla curva ellittica che si vuole studiare. La congettura afferma che se la funzione L calcolata nel punto 1 è uguale a zero, allora la curva ellittica alla quale è associata possiede infiniti punti di coordinate razionali. La dimostrazione di questa congettura è legata a molte quesiti sulla teoria dei numeri e potrebbe fare luce su una dei problemi proposti da Diofanto nel III secolo d.C.: trovare quali numeri interi rappresentano l’area di un triangolo rettangolo i cui lati hanno una lunghezza uguale a numeri razionali. congettura di Hodge Nel secolo scorso i matematici hanno scovato un metodo per studiare la forma di oggetti geometrici complicati. L’idea è quella di riprodurre le figure in modo approssimato, sovrapponendo una sull’altra figure geometriche semplici, un po’ come quando da bambini si cerca di costruire le forme più diverse con i mattoncini. Il metodo si è rivelato efficace per descrivere le proprietà e la forma di oggetti geometrici molto complessi. Ma sfortunatamente l’origine geometrica della procedura rimane oscura. In pratica, per ottenere le approssimazioni più vicine alle figure cercate, spesso si deve ricorrere a mattoncini che non possiedono un’interpretazione geometrica. La congettura di Hodge, proposta nel 1950, afferma che per particolari figure complesse, chiamate varietà algebriche proiettive, i pezzi chiamati cicli di Hodge sono la combinazione di figure geometriche comunemente dette cicli algebrici. equazioni Navier-Stokes Come si muovono e si generano le onde dietro lo scafo di una barca che solca la superficie di un lago? Come si creano e si evolvono le turbolenze che avvolgono un aereo in volo alla velocità di centinaia di chilometri all’ora? I matematici e i fisici pensano che la risposta sia racchiusa nelle equazioni elaborate da Claude Navier e George Stokes attorno al 1820. Le equazioni sono ormai datate, ma nonostante ciò siamo molto lontani da una comprensione profonda di queste formule su cui si basa gran parte della fluidodinamica. Gli sforzi dei matematici sono tutti rivolti alla scoperta di una teoria che sveli i segreti nascosti sotto le equazioni di Naver-Stokes. teoria di Yang-Mills Uno dei più grandi enigmi della moderna fisica matematica è se il Modello Standard della fisica delle particelle sia una teoria che fa fondamento dal punto di vista matematico. Tutto cominciò negli anni Venti, con l’introduzione di un nuovo modo di descrivere la teoria elettromagnetica di Maxwell, chiamata elettrodinamica quantistica, o QED (Quantum ElecroDynamics). Lo sforzo era di cercare di conciliare la teoria elettromagnetica classica e quella quantistica. Nel 1954 Chen-Ning Yang e Robert Mills elaborarono le equazioni che portano il loro nome e che descrivono un campo che permette di rappresentare le interazioni tra le particelle. La novità era che Yang e Mills introdussero un nuovo modo di considerare le interazioni tra particelle elementari, usando strutture che si trovano in algebra geometrica. Le predizioni delle equazioni sono state testate in molti esperimenti in laboratorio, ma la loro spiegazione matematica resta irrisolta. Maria Rosa Patisso

MARIA ROSA PATISSO